Antoine Touzé

Professeur des universités - Mathématiques
CNU : SECTION 25 - MATHEMATIQUES
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Antoine Touzé

Professeur des universités - Mathématiques

Enseignements

Topologie algébrique en M2 à Lille (2022-2023)

En 2022-2023, le M2 Recherche de Lille proposera parmi ses choix de parcours possible, un programme tourné vers la topologie algébrique. Les étudiants intéressés auront la possibilité de suivre au second semestre les cours:

  • groupes quantiques et invariants quantiques par A. Virelizier et H. Zhang
  • cohomologie des groupes par A. Touzé (voir ci-dessous)

Vous pouvez consulter la page internet du M2 recherche, ainsi que le livret pédagogique 2022-2023 pour des détails complets sur la formation.

Par ailleurs, des Master Classes en topologie algébrique se tiendront à Lille au printemps 2023, organisés par le GDR 2875 du CNRS: Théorie de l'Homotopie et Applications. Il s'agit d'une semaine intensive de cours, à destination des étudiants de niveau M2, des doctorants et des jeunes chercheurs de toute la France (programme des cours en préparation). Les étudiants du M2 de Lille sont invités à en profiter.

Cours de M2: cohomologie des groupes (janvier 2023)

Chaque groupe G possède un anneau de cohomologie, qui peut se définir de manière topologique (comme anneau de cohomologie d’un espace topologique) ou purement algébrique (comme anneau d’extensions entre représentations du groupe). La cohomologie d’un groupe est un lieu d’interactions entre l’algèbre et la topologie, et joue un rôle dans de nombreux problèmes de géométrie, d’algèbre ou de topologie.

Ce cours est une introduction à la cohomologie des groupes. On y présentera les bases de la théorie, puis on démontrera le théorème de Evens - Quillen - Venkov qui établit que la cohomologie d’un groupe fini est un anneau de type fini. En cours de route, on croisera de nombreuses techniques standard d’algèbre homologique qui constituent un bagage utile plus généralement pour la géométrie, l’algèbre ou la topologie. Si le temps le permet, on finira le cours en décrivant des résultats récents et des conjectures ouvertes sur la cohomologie des groupes finis et de leur généralisation, les algèbres de Hopf de dimension finie.

Programme prévisionnel du cours

A- Homologie et cohomologie des espaces topologiques
(a) Type d’homotopie
(b) Homologie, suites exactes longues, exemples de calculs et d’applications
(c) Anneaux de cohomologie
(d) Construction de l’homologie et de la cohomologie

B- Ext et Tor
(a) Définition des Ext et Tor
(b) Produits en Ext
(c) Exemples et applications.

C- (Co)homologie des groupes
(a) Définition topologique via les espaces classifiants, exemples.
(b) Définition algébrique via les Ext et Tor
(c) Propriétés et exemples fondamentaux

D- Le théorème de Evens - Quillen - Venkov
(a) Suites spectrales, exemples.
(b) Théorème de Evens Quillen Venkov pour la cohomologie des groupes finis.

E- Perspectives sur la cohomologie des algèbres de Hopf de dimension finie


Bibliographie
1. Benson, Representations and cohomology II, Cambridge University Press
2. Brown, Cohomology of groups, GTM 87, Springer
3. Hatcher, Algebraic topology, Cambridge University Press
4. Weibel, An introduction to homological algebra, Cambridge University Press