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Programme du cours

Notions de base :

• Révision des définitions fondamentales (anneaux, modules, algèbres)
• Divisibilité, notion d'élément irréductible, anneaux factoriels
• Idéaux
  1. Notion d'idéal, opérations sur les idéaux
  2. Anneaux principaux et euclidiens
  3. Notion d'anneau noethérien. Le théorème de la base de Hilbert
• Modules sur les anneaux
  1. Notions fondamentales, opérations sur les modules. Modules noethériens
  2. Présentation des modules par générateurs et relations
  3. Classification des modules de type fini sur un anneau principal
  4. Résolutions et syzygies
• Idéaux premiers et maximaux
• Anneaux et modules de fractions, localisation

Notions d'approfondissement :

• Bases de Gröbner et méthodes effectives. Bases de Gröbner dans les anneaux de polynômes. Algorithme de Buchberger. Nullstellensatz effectif. Calcul des syzygies
• Applications en géométrie algébrique. Nullstellensatz. Variétés algébriques. Classification des courbes
• Applications en théorie algébrique des nombres. Anneaux d'entiers de corps de nombres. Structure des anneaux de Dedekind. Unités et groupes de classes d'idéaux dans les anneaux d'entiers de corps de nombres
• Nombres p-adiques. Construction. Lemme de Hensel. Structure des unités. Théorème d'Hasse-Minkowski et principe local-global
• ...

Exercices

1. Notions fondamentales, divisibilité, anneaux factoriels, euclidiens (révisions et compléments)
2. Bases de Gröbner. Anneaux noethériens
3. Modules, notions fondamentales. Forme normale de Smith des matrices et structure des Z-modules
4. Idéaux premiers et maximaux, interprétation en géométrie algébrique
5. Anneaux et modules de fractions, localisation
6. Anneaux complets, lemme de Hensel

Devoirs maisons

1. Devoir maison à rendre pour lundi 23 novembre 2020
2. Devoir maison à rendre pour mercredi 6 janvier 2021

Références

1. M. Artin, Algebra. Prentice-Hall, 1991.
2. D. Cox, J. Little, D. O'Shea. Ideals, varieties and algorithms. An introduction to computational algebraic geometry and commutative algebra. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, 1992.
3. D. Eisenbud. Commutative algebra with a view toward algebraic geometry. Graduate Texts in Mathematics, 150. Springer-Verlag, 2004.
4. V. Ene, J. Herzog. Gröbner bases in commutative algebra. Graduate Studies in Mathematics, 130. American Mathematical Society, Providence, RI, 2012.
5. W. Fulton. Algebraic curves. An introduction to algebraic geometry. W.A. Benjamin inc., 1969.
6. D. Perrin. Géométrie algébrique. Une introduction. Savoirs Actuels. InterEditions, Paris.
   CNRS Editions, Paris, 1995.
7. P. Samuel, Théorie algébrique des nombres, Hermann, Paris, 1967.