Informations :

• Premier cours le mercredi 11 septembre 2019, à 10h30-12h30, salle M1 Lie.
• Le cours prévu le mardi 10 septembre est reporté au jeudi 12 septembre, 10h-12h, salle M1 Dirichlet.
• Le cours de mardi 22 octobre est décalé au lundi 21 octobre, 8h30-10h, salle Euler.
• Il n'y aura pas cours mardi 5 novembre.
• Le devoir surveillé de mi-semestre aura lieu mercredi 6 novembre, à 10h30-12h30, salle M3 Duhem. Les notes personnelles de cours sont autorisées.
• Les mardis 12 novembre, 19 novembre, 26 novembre, 3 décembre le cours sera complété par une séance d'exposé d'une heure, de 16h15 à 17h15.
• Le dernier cours aura lieu mercredi 4 décembre.
• L'examen aura lieu jeudi 19 décembre, à 9h-12h, à la B2RM (bâtiment M2). Les notes personnelles de cours sont autorisées et la consultation de tout ouvrage disponible à la B2RM sera autorisée.

Plan du cours :

• Anneaux, idéaux, localisation
  1. Notions fondamentales
  2. Divisibilité, anneaux factoriels, principaux, euclidiens
  3. Idéaux maximaux, premiers. Notion d'anneau noethérien. Le Nullstellensatz
• Modules sur les anneaux
  1. Notions fondamentales
  2. Classification des modules de type fini sur un anneau principal. Application à la réduction des endomorphismes
  3. Anneaux et modules de fractions, localisation
• Applications en théorie algébrique des nombres
  1. Extensions de corps (rappels et compléments)
  2. Entiers algébriques
  3. Trace, norme et discriminant
  4. Structure des anneaux de Dedekind
  5. Unités et groupes de classes d'idéaux dans les anneaux d'entiers de corps de nombres

Exercices :

1. Divisibilité, anneaux factoriels, principaux, euclidiens
2. Unités des anneaux Z/nZ, polynômes irréductibles
3. Modules, généralités, facteurs invariants et structure des Z-modules
4. Norme, trace, discriminant, anneaux d'entiers et idéaux

Propositions d'exposés :

1. Nullstellensatz et géométrie algébrique
2. Résolutions, homologie et groupes d'extensions
3. Bases de Gröbner
4. Le groupe des classes d'idéaux d'un anneau d'entiers de corps de nombres
5. Le théorème des unités de Dirichlet
6. Modules projectifs et K-théorie des anneaux de Dedekind
7. Le théorème de la progression arithmétique de Dirichlet

Texte de présentation des exposés

Contrôles :

• Devoir surveillé de mi-semestre (6 novembre)
  • Sujet du devoir
  • Corrigé
• Examen final (19 décembre)
  • Sujet de l'examen

Bibliographie :

La référence sur laquelle je me suis principalement basée pour le cours est le livre :

1. Pierre Samuel, Théorie algébrique des nombres, Hermann, Paris, 1967.

Les livres suivants sont d'autres ouvrages de référence standards en théorie algébrique des nombres (ces livres couvrent plus que le sujet du cours) :

1. Kenneth Ireland et Michael Rosen, "A classical introduction to modern number theory", Graduate Texts in Mathematics 84, Springer-Verlag, 1981.
2. Gerald Janusz, "Algebraic Number Fields", Pure and Applied Mathematics 55, Academic Press, 1973.
3. Jürgen Neukirch, "Algebraic Number Theory", Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 322, Springer-Verlag, 1999 (traduction).