Géry De Saxcé
Axes de recherche
Approches variationnelles pour les systèmes dynamiques dissipatifs
Les lois non associées –techniquement ”non cycliquement monotones”– ne peuvent pas être représentées par un potentiel convexe. Par contre j'ai montré que nombre d’entre elles peuvent être modélisées grâce à un bipotentiel, une fonction de variables duales (par exemple la contrainte et la vitesse de déformation plastique), bi-convexe, bi-semi-continue inférieurement et vérifiant une inégalité généralisant celle de Fenchel. A titre d’exemple, on peut citer le modèle de Drucker-Prager non associé et du Cam-Clay pour les géomatériaux, la loi d’écrouissage cinématique non-linéaire d’Armstrong-Frederick, la loi de contact unilatéral avec frottement sec de Coulomb. L’approche du bipotentiel conduit à une généralisation étendue du calcul variationnel et à la construction de nouveaux algorithmes et intégrateurs numériques.
La méthode classique pour traiter les problèmes d’évolution des systèmes dissipatifs consiste à calculer les pas de temps successivement (calcul incrémental ou pas-à-pas). Le principe de Brezis-Ekeland-Nayroles (BEN) est un principe variationnel d’espace-temps non-incrémental. Nous avons ainsi étendu à la dynamique le principe de BEN en introduisant les concepts de sous-différentiel symplectique et de transformée de Fenchel symplectique. Nous avons montré la faisabilité de cette approche pour des applications numériques aux calcul des structures élastoplastiques et élastoviscoplastiques.
Travaux récents ou en cours : l'objectif du projet BigBen (BIpotentiels Généralisés pour le principe variationnel de Brezis- Ekeland-Nayroles en mécanique, ANR-22-CE51-0034-04) est de combiner le principe de BEN avec le bipotentiel pour l'étendre aux lois non associées (arXiv:2410.23122). L'approche s'applique également à la mécanique de la rupture (arXiv:2112.03065) et aux équations de Navier-Stokes pour les fluides visqueux (arXiv:2306.04405).
Vidéo "A variational principle of minimum for Navier-Stokes equation based on the symplectic formalism" (conférence GSI’23):
https://www.youtube.com/watch?v=hA8_nauWfCM&list=PLAptO8SPfFHuSqqUrGz_g5d0P5R--5xOv&index=7
Variational approaches for dissipative dynamic systems
Non associated laws –technically ”not cyclically monotone” laws– cannot be represented by a convex potential. However, I showed that many of them can be modelled using a bipotential, a function of dual variables (for example the stress and the plastic strain rate), bi-convex, bi-semi-lower-continuous and verifying a generalized Fenchel's inequality. As examples, we can cite the non associated Drucker-Prager model and Cam-Clay model for the geomaterials, the non linear kinematic hardening law of Armstrong-Frederick, Coulomb's law of unilateral contact with dry friction. The bipotential approach leads to a wide generalization of the variational calculus and to the construction of new algorithms and numerical integrators.
The classical method for dealing with the evolution problems of dissipative systems consists in calculating the time steps successively (incremental or step-by-step method). The Brezis-Ekeland-Nayroles (BEN) principle is a non-incremental space-time variational principle. We have extended the BEN principle to dynamics by introducing the concepts of symplectic subdifferential and symplectic Fenchel transform. We have shown the feasibility of this approach for numerical applications to the calculation of elastoplastic and elastoviscoplastic structures.
Recent or ongoing works: the objective of the BigBen project (BIpotentiels Généralisés pour le principe variationnel de Brezis- Ekeland-Nayroles en mécanique, ANR-22-CE51-0034-04) is to combine the BEN principle with the bipotential to extend it to non associated laws (arXiv:2410.23122). The approach also applies to fracture mechanics (arXiv:2112.03065) and to Navier-Stokes equations for viscous fluids (arXiv:2306.04405).
Video "A variational principle of minimum for Navier-Stokes equation based on the symplectic formalism" (conference GSI’23):
https://www.youtube.com/watch?v=hA8_nauWfCM&list=PLAptO8SPfFHuSqqUrGz_g5d0P5R--5xOv&index=7
Projet ANR BigBen
L'objectif du projet BigBen (BIpotentiels Généralisés pour le principe variationnel de Brezis- Ekeland-Nayroles en mécanique, ANR-22-CE51-0034-04) est de développer des méthodes variationnelles innovantes pour relever les défis posés aujourd'hui en calcul des structures dans le domaine des couplages et interactions entre des phénomènes tels que la dynamique, la plasticité, le contact frottant, la mécanique de la rupture, l'endommagement :
Défi 1 : la prise en compte dans la fonctionnelle des lois de comportements dites non associées dont les plus connues sont la loi de contact unilatéral avec frottement de Coulomb et de nombreuses lois de géomatériaux.
Défi 2 : la construction d'approches variationnelles pour simuler l'évolution des structures en présence de comportements dissipatifs autrement que par les approches pas-à-pas ou incrémentales classiques, afin de contrôler globalement le calcul de l'histoire du chargement.
Notre ambition est de rencontrer simultanément ces deux défis.
Les lois non associées ne peuvent pas être représentées par un potentiel convexe. Par contre, nous avons montré que nombre d'entre elles peuvent être modélisées grâce à un bipotentiel, une fonction de 2 variables duales, bi-convexe. L’approche du bipotentiel conduit à une généralisation étendue du calcul variationnel. Le principe de Brezis-Ekeland-Nayroles est un principe variationnel d’espace-temps non-incrémental. Nous l’avons étendu à la dynamique en introduisant les concepts de sous-différentiel symplectique.
L'approche proposée consiste à étendre ce principe aux matériaux à bipotentiel. L'objectif est de développer les outils de simulation numérique qui en découlent. Les applications-cibles sont l'analyse d'interactions telles que la plasticité cyclique des métaux, la plasticité des polycristaux et des géomatériaux et la propagation de fissures comprimées dont les lèvres frottent entre elles.
Structuration :
Axe 1 : Outils mathématiques et numériques
Axe 2 : Modélisations et simulations numériques en plasticité non associée
Axe 3 : Endommagement et rupture quasi fragile en condition dynamique
Le consortium est constitué de 4 équipes :
Equipe 1 (Université de Lille, LaMcube UMR 9013) : Géry de Saxcé, Abdelbacet Oueslati, Pierre Gosselet
Equipe 2 (Sorbonne Université, ∂’Alembert UMR 7190 ) : Djimedo Kondo, Renald Brenner, Radhi Abdelmoula
Equipe 3 (Université de Lorraine, LEM3 UMR 7239) : Céline Bouby
Equipe 4 (Université de Lorraine, GeoRessources UMR 7359) : Long Cheng
Coopération internationale (Institut of General Mechanics (IAM), RWTH Aachen) : Michael Ban
BigBen ANR project
The aim of the BigBen project (BIpotentiels Généralisés pour le principe variationnel de Brezis- Ekeland-Nayroles en mécanique, ANR-22-CE51-0034-04) is to develop innovative variational methods to address the challenges today in structural mechanics in the domain of the couplings and interactions between phenomena such as the dynamics, the plasticity, the frictional contact, the fracture mechanics and the damage:
Challenge 1: the consideration in the functional of the non associative constitutive laws of which the most known are the unilateral contact with Coulomb's friction and numerous laws of geomaterials.
Chalenge 2: the construction of variational approaches to simulate the structure evolution when dissipation is present in ways other than using classical step-by-step or incremental approaches, to control globally the computation of the overall loading history.
Our ambition is to face simultaneously these two challenges.
The non associative laws cannot be represented by a convex potential. In contrast, we showed that they can be modeled thanks to a bipotential, a function of 2 dual variables, biconvex. The bipotential approach leads to an extensive generalization of the calculus of variation. The Brezis-Ekeland-Nayroles principle is a non-incremental space-time variational principle. We extended it to the dynamics by introducing the concept of symplectic subdifferential.
The proposed approach consists in extending this principle to the materials with bipotential. The goal is to develop the corresponding tools of numerical simulation. The target applications are the analysis of interactions such as the cyclic plasticity of metals, the plasticity of polycrystals and geomaterials and the extension of cracks compressed of which the tips rub together.
Structuration:
Axis 1: Mathematical and numerical tools
Axis 2: Modelling and numerical simulation in non associative plasticity
Axis 3: Damage and quasi brittle fracture in dynamical condition
The consortium consists of 4 teams:
Team 1 (Université de Lille, LaMcube UMR 9013) : Géry de Saxcé, Abdelbacet Oueslati, Pierre Gosselet
Team 2 (Sorbonne Université, ∂’Alembert UMR 7190 ) : Djimedo Kondo, Renald Brenner, Radhi Abdelmoula
Team 3 (Université de Lorraine, LEM3 UMR 7239) : Céline Bouby
Team 4 (Université de Lorraine, GeoRessources UMR 7359) : Long Cheng
Coopération internationale (Institut of General Mechanics (IAM), RWTH Aachen) : Michael Ban
Une vision géométrique structurante de la Mécanique, du solide rigide aux milieux continus
Le point de départ de cette approche est le concept de tenseur affine, une extension naturelle des tenseurs classiques. Après avoir développé les éléments d’analyse tensorielle correspondants, j'ai montré la pertinence en mécanique du concept de torseur, un type particulier de tenseurs affines. Le point essentiel consiste alors à admettre que les lois de conservation du moment d’un milieu continu quelconque dérivent d’un principe unique qui stipule que la divergence covariante affine du champ de torseur est nulle. Ce principe simple offre une vue synthétique de la mécanique des systèmes de points matériels, des solides rigides et des milieux continus. Il peut être décliné en fonction du choix d’un sous-groupe du groupe affine (groupe de Galilée ou groupe de Poincaré-Lorentz), de l’espace environnant (espace ou espace-temps) et de la sous-variété (trajectoire d’un point matériel ou d’un solide rigide, poutre, coque, corps 3D). L’ensemble de ses travaux est rassemblé dans le livre «Galilean Mechanics and Thermodynamics of Continua ».
Travaux récents ou en cours : dans le cadre de la relativité 5D avec la 5ème dimension recourbée et absolument minuscule (10-31 cm), j'ai également proposé un nouveau groupe de symétrie pour lequel la charge électrique des particules est invariante. J'ai construit une connection affine symétrique associée qui permet d'écrire la loi du mouvement de manière covariante en incluant la force de Lorentz. Sur cette base, j'ai proposé un principe variationnel qui permet de trouver de nouvelles équations couplées des champs de gravitation et électromagnétique (arXiv:2403.14846).
A geometrical vision of the Mechanics, from rigid body to continuous media
The starting point of this approach is the affine tensor concept, a natural extension of classical tensors. After developing the corresponding tensor analysis, I showed the relevance in mechanics of the concept of torsor, a particular type of affine tensors. The essential point is then to admit that the balance equations of momenta of a continuous medium derive from a single principle which states that the torsor is affine covariant divergence free. This simple principle provides a synthetic view of the mechanics of material point systems, rigid bodies and continuous media. It can be declined according to the choice of a subgroup of the affine group (Galileo group or Poincaré-Lorentz group), the surrounding space (space or spacetime) and the submanifold (trajectory of a material point or rigid body, beam, shell, 3D body). All these works are collected in the book «Galilean Mechanics and Thermodynamics of Continua».
Recent or ongoing works: in the context of 5D relativity where the 5th dimension is curled up and overwhelmingly small (10-31 cm), I also proposed a new symmetry group for which the electric charge of particles is invariant. I built an associated symmetric affine connection that allows to write the law of motion in a covariant way including the Lorentz force. On this basis, I proposed a variational principle that allows to find new coupled equations of the gravitation and electromagnetic fields (arXiv:2403.14846).