Programme du cours

Il s'agit d'un séminaire de lecture sur un sujet qui conduit à des thèmes de recherche mathématique. Le travail demandé comprend un exposé, suivi d'une captation et d'une rédaction de notes, qui seront mises à disposition pour le Master sur la plateforme moodle de l'université.

Le sujet proposé pour cette année est la théorie des bases de Gröbner et ses applications.

La théorie des bases de Gröbner permet de construire pour un idéal I de l'anneaux de polynômes à plusieurs variables k[x₁,...,x_n] un système de générateurs (g₁,...,g_n) de I tel qu'une propriété de l'appartenance f∈I pour un élément f∈k[x₁,...,x_n] se vérifie par le calcul du reste d'une division de f par les polynômes (g₁,...,g_n).

La théorie donne aussi des méthodes pour résoudre des systèmes d'équations polynomiales f₁(x₁,...,x_n) = f₂(x₁,...,x_n) = ... = f_m(x₁,...,x_n) = 0 qui généralisent les méthodes d'algèbre linéaire classique pour les systèmes d'équations affines.

Il s'agit du cours M41 du semestre 4 des licences de mathématiques, d'informatiques mathématiques et du parcours LAS - option mathématiques.

Plan

1. Suites de fonctions (convergence simple et uniforme des suites de fonctions; propriétés des limites uniformes)
2. Séries de fonctions (convergence simple et uniforme, convergence normale, propriétés de la somme)
3. Séries entières dans le domaine réel (convergence des séries entières, fonctions développables en série entières - exemples classiques et calcul)
4. Séries entières dans le domaine complexe (rappel sur la convergence des suites et séries à valeurs complexes, convergence des séries entières dans le domaine complexe, fonctions complexes définies par une série entière, exemple de l'exponentielle).
5. Complément : développement en série entière des fractions rationnelles

Le cours est accessible sur la plateforme moodle de l'université.