Introduction

Le but de ce cours sera d'introduire les étudiants à des problématiques de recherche actuelles dans les domaines de l'algèbre et de la topologie.

Le premier concept qui interviendra dans le cours est donné par la notion d’opérade. Pour expliquer l’idée de cette notion, une opérade est un objet qui modélise la structure formée par des composées d’opérations qui gouvernent une structure d’algèbre. Les catégories d’algèbres usuelles, comme la catégorie des algèbres associatives, la catégorie des algèbres associatives et commutatives, la catégorie des algèbres de Lie, … peuvent être associées à des opérades. On a une notion de présentation par générateurs et relations pour les opérades qui reflète la définition classique de la structure d’algèbre associative, de la structure d’algèbre commutative, de la structure d’algèbre de Lie … en termes d’une opération génératrice (un produit, un crochet de Lie, …) vérifiant un ensemble de relations. Dans ce contexte, l’un des outils principaux de la théorie des opérades est la théorie de la dualité de Koszul qui est utilisée pour calculer les syzygies (les relations secondaires) associées à de telles présentations.

La définition des catégories usuelles d’algèbres et des opérades associées sera étudiée dans la première partie du cours. Ensuite, on se concentrera sur l’étude des opérades E_n: des exemples fondamentaux d’opérades qui sont utilisés pour modéliser des niveaux de commutativité qui gouvernent certaines structures d’algèbre.

Puis on expliquera une construction de complexes de graphes dans le but de calculer des groupes d’automorphismes associés aux opérades E_n. Pour conclure le cours, on esquissera des applications des complexes de graphes dans une interprétation opéradique du groupe de Grothendieck-Teichmüller (un groupe, défini en utilisant des idées du programme de Grothendieck en théorie de Galois, qui modélisent des symétries universelles de groupes quantiques), ou des applications des complexes de graphes pour le calcul de l’homotopie des espaces de nœuds/des espaces de plongements de variétés sur les rationnels.

Prérequis : notions fondamentales d’algèbre ; notions fondamentales de topologie algébrique (homologie et homotopie)

Synopsis

1. Les catégories d’algèbres classiques et les opérades associées
2. La dualité de Koszul des algèbres. La dualité de Koszul des opérades
3. Les modèles des opérades E_n en topologie, en algèbre et en théorie des catégories
4. Les complexes de graphes et les automorphismes homotopiques des opérades E_n
5. Des applications : l’interprétation opéradique du groupe de Grothendieck-Teichmüller ; l’homotopie des espaces de nœuds/des espaces de plongements de variétés

Références

1. B. Fresse, Homotopy of operads and Grothendieck-Teichmüller groups. Mathematical surveys 272, American Mathematical Society, 2017.
2. J.-L. Loday, B. Vallette, Algebraic operads. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 346, Springer-Verlag, 2012.
3. T. Willwacher, M. Kontsevich’s graph complex and the Grothendieck-Teichmüller Lie algebra. Invent. Math. 200, no. 3, pp. 671–760 (2015).

Organisation

Les cours auront lieu les lundis et mercredis sur le créneau 10h30-12h30, de janvier à fin mars 2025, avec un premier cours prévu le mercredi 15 janvier 2025 et une semaine d’interruption du 23 février au 2 mars.

Les cours se tiendront dans un format présentiel traditionnel (au département de mathématiques de l’Université de Lille, campus Cité Scientifique à Villeneuve d’Ascq) et, de façon simultanée, en visio-conférence en ligne pour le suivi à distance (pour des étudiants extérieurs au M2 de mathématiques de l'Université de Lille). Les cours seront enregistrés et mis à disposition publiquement après les séances.

Les séances de cours (16x2h) seront complétées par des séances de TD/séminaires (4x2h) qui auront lieu à intervalles réguliers sur les créneaux du mercredi et qui seront consacrées à des révisions de notions utilisées dans le cours, à des exercices, à des exposés d’étudiants, ... (La première semaine de cours, une séance de TD exceptionnelle sera organisée le mercredi 15 janvier après-midi, après le premier cours, pour faire le point sur les prérequis du cours). Les activités proposées pour les TD seront mises à disposition sur le site moodle du cours pour la participation à distance.

La participation au cours est libre, mais l’inscription est obligatoire pour l’accès aux activés en ligne (visio-conférence des cours et TD). Les inscriptions seront ouvertes en septembre (vérifier les mises à jour du site à cette période).

Evaluation : Pour les étudiants qui voudront valider le cours dans le cadre d’un diplôme de master 2, l’évaluation sera basée sur un exposé et un examen final qui aura lieu après la fin du cours (en présentiel uniquement). La note sera la moyenne des notes obtenues dans ces deux évaluations.

Contact : benoit.fresse[chez]univ-lille[point].fr / https://pro.univ-lille.fr/benoit-fresse/

Calendrier prévisionnel (à confirmer)