Présentation

Je travaille en analyse complexe de plusieurs variables et en géométrie presque complexe. En analyse complexe, j’utilise des formules intégrales et des courants résiduels qui, en fournissant des représentations de formes différentielles solutions d’équations d-bar ou des extensions de fonctions holomorphes ou encore des formules de division, m’ont permis de donner :

• la régularité optimale des solutions des équations de Cauchy-Riemann d-bar u = f sur un domaine D lorsque la donnée f a certains types de régularité sur D et lorsque D est convexe de type fini,
• des conditions nécessaires et suffisantes ou presque suffisantes pour l’existence d’extensions de fonctions holomorphes définies sur l’intersection d’un domaine et d’une variété régulière ou singulière,
• la caractérisation des ensembles des zéros des fonctions de H^p (D), la classe de Hardy de D, encore lorsque D est convexe de type fini,
• une preuve du théorème de la couronne H^p pour 2 générateurs dans les domaines convexes de type fini,
• des conditions nécessaires et suffisantes ou presque suffisantes permettant de résoudre des problèmes de divisions de fonctions holomorphes.

Pour prouver les résultats de régularité de l’équation d-bar, j’ai utilisé des formules de représentation intégrale utilisant des noyaux de type Cauchy-Fantappiè et des noyaux à poids de type Berndtsson-Andersson.

Quant à la partie géométrie presque complexe, j’ai montré que, contrairement à ce que l’on conjecturait, il existe des hypersurfaces de rang constant qui ne contiennent pas de disque J-holomorphe ayant une dérivée à l’origine donnée. J’ai ensuite donné des conditions suffisantes pour l’existence de tels disques.