William Alexandre

Je travaille principalement en analyse complexe de plusieurs variables et mais aussi en géométrie presque complexe et plus récemment en analyse fonctionnelle.

En analyse complexe, j’utilise des formules intégrales et des courants résiduels qui, en fournissant des représentations de formes différentielles solutions d’équations \(\overline\partial\) ou des extensions de fonctions holomorphes ou encore des formules de division, m’ont permis de donner :

• la régularité optimale des solutions des équations de Cauchy-Riemann sur un domaine D lorsque la donnée a certains types de régularité sur D et lorsque D est convexe de type fini,

• des conditions nécessaires et suffisantes ou presque suffisantes pour l’existence d’extensions de fonctions holomorphes définies sur l’intersection d’un domaine et d’une variété régulière ou singulière,

• la caractérisation des ensembles des zéros des fonctions de H^p(D), la classe de Hardy de D, encore lorsque D est convexe de type fini,

• une preuve du théorème de la couronne H^p pour 2 générateurs dans les domaines convexes de type fini,

• des conditions nécessaires et suffisantes ou presque suffisantes permettant de résoudre des problèmes de divisions de fonctions holomorphes.

En géométrie presque complexe, avec mon co-auteur j’ai montré que, contrairement à ce que l’on conjecturait, il existe des hypersurfaces de rang constant qui ne contiennent pas de disque J-holomorphe ayant une dérivée à l’origine donnée. J’ai ensuite donné des conditions suffisantes pour l’existence de tels disques.

En analyse fonctionnelle, j’ai étudié les opérateurs qui ont des algèbres de vecteurs hypercycliques dans l’espace de Fréchet des fonctions entières. Avec mes co-auteurs, nous avons notamment construit un espace polonais d’opérateurs dans lequel les opérateurs ayant une algèbre de vecteurs hypercycliques sont typiques.