Résumé : En géométrie complexe, l'application de classe de cycle joue un rôle organisationnel majeur. Elle attache à une sous-variété irréductible (lisse) de codimension c d'une variété lisse X sa classe fondamentale à coefficients entiers en tant que sous-variété analytique de X(C) et la conjecture de Hodge entière prédit que son image est précisément le sous-groupe des classe de Hodge de type (c,c). En géométrie réelle, le défaut d'orientabilité des lieux réels et applications algébriques entre lieux réels empêche la reproduction verbatim de cette construction en substituant simplement lieu réel au lieu complexe, du moins à coefficients entiers. L'invariant obtenu en remplaçant la cohomologie à coefficients entiers par la cohomologie à coefficients modulo 2, appelé classe de cycle de Borel–Haefliger, est par ailleurs beaucoup moins fin que la classe de cycle complexe. Dans cet exposé, nous expliquerons comment en remplaçant le groupe de Chow des cycles de codimension c par le groupe de Chow–Witt des cycles orientés, un raffinement quadratique du premier, on peut définir un relèvement de la classe de cycle de Borel–Haefliger à valeurs dans la cohomologie entière du lieu réel, que nous appelons classe de cycle réelle. Nous énoncerons ensuite une conjecture précise donnant une borne inférieure sur la taille de son image en termes des exposants de son conoyau, qui peut être vue comme un analogue réel de la conjecture de Hodge.

Résumé : Ce sera la suite de l'exposé du matin.

Abstract: The work discussed is joint with André Belotto da Silva, Michael Temkin and Jaroslaw Wlodarczyk, and with Ming Hao Quek and Bernd Schober. I will continue a long struggle to explain to non-experts why resolution of singularities in characteristic zero works. 

Résumé : Cette présentation préparatoire aux exposés de Dan Abramovich du lendemain se veut accessible aux personnes n'ayant aucune connaissance de la notion d'éclatement en géométrie algébrique. J'expliquerai diverses applications des éclatements de points, sous-variétés lisses ou sous-schémas quelconques à l'étude des variétés algébriques ou analytiques, lisses ou singulières. 

Résumé : L'o-minimalité est une branche de la théorie des modèles visant à l'étude de la géométrie réelle modérée. Les ensembles définissables dans une théorie o-minimale présentent de remarquables propriétés d'uniformité et de modération, notamment topologiques. Je présenterai des applications en géométrie arithmétique, au comptage de points rationnels via le théorème de Pila-Wilkie, ainsi qu'une version définissable du théorème de Chow due à Peterzil et Starchenko.

Abstract: The subfield of low-dimensional topology colloquially called "3.5-dimensional topology" studies closed 3-manifolds through the eyes of the 4-manifolds that they bound. This talk focusses on Casson's question of which rational homology 3-spheres bound rational homology 4-balls. Since rational homology 3-spheres bounding rational homology 4-balls are a rare phenomenon, we will discuss how to construct examples.

Résumé : Branche de la logique mathématique, la théorie des modèles fournit des outils pour attaquer des questions arithmétiques et géométriques. Je présenterai par l'exemple certains de ces outils et applications. Pour les corps valués, le théorème d'Ax-Kochen-Ershov est un théorème de transfert permettant de changer de caractéristique certains énoncés. La théorie des modèles permet également de construire de manière abstraite une notion de dimension et d'indépendance, généralisant indépendance algébrique. Cela a été utilisé par Hrushovski pour la preuve de la conjecture de Mordell-Lang.

Abstract: A d-dimensional complex analytic germ (S,0) is quasi-ordinary if S has a finite projection to  (C^d,0) which is unramified outside the coordinate hyperplanes. In this talk we consider the case when S is an analytically irreducible hypersurface. In this case the normalization of S is a toric singularity. This allows us to define a logarithmic Jacobian ideal associated with S. Then we compare this ideal with the ideal generated by the image of the Jacobian ideal of S in the local ring of the normalization of S and we describe some applications.

Résumé : Il s'agit de la suite de l'exposé de la semaine dernière. 

Résumé : J'expliquerai les résultats d'un travail en collaboration avec Evelia Rosa García Barroso, concernant les courbes discriminantes des morphismes finis déterminés par des paires (f,g) de germes de fonctions holomorphes  définies sur des singularités S de surfaces complexes normales. Nous montrons que les courbes initiales de Newton de ces courbes discriminantes ne dépendent, à automorphismes toriques près, que des diviseurs principaux définis par f et g. Ceci généralise un théorème de Gryszka, Gwoździewicz et Parusiński, qui concerne le cas où S est lisse. Nous qualifions notre approche d'eudoxienne, car elle passe par l'étude des discriminants de tous les morphismes finis (f^b, g^a), où a et b sont des entiers positifs : cela est semblable à l'étude eudoxienne des rapports de grandeurs via la comparaison de tous leurs multiples entiers positifs. 

Résumé : Dans cet exposé je présenterai comment retrouver les nombres de Betti des lieux réels et complexes d'une variété torique projective (munie de la structure réelle canonique). La méthode utilise un effeuillage du polytope dual de la variété. Je finirai alors l'exposé en évoquant le théorème de Stanley sur la nécessité des conditions de McMullen sur les f-vecteurs des polytopes simpliciaux.

Abstract: An important problem in 4-manifold topology is to determine the smallest self-intersection of an embedded sphere in a given 4-manifold. This question naturally leads to the more specific problem of embedding large trees of -2-spheres in 4-manifolds. I will report on ongoing work on this problem emphasizing how combinatorial and graph-theoretic methods can help in this context.

Résumé : Il s'agit de la suite de l'exposé de la semaine dernière. 

Résumé : Le Patchwork de Viro est une puissante méthode combinatoire pour construire des variétés algébriques réelles avec un contrôle sur la topologie. Le procédé en lui-même est plutôt facile à expliquer et à comprendre. Il est à la base de nombreux champs de la recherche mathématique actuelle, y compris à la base de mes propres recherches. Mais qu'en est-il de la preuve de ce théorème de Patchwork ? Très peu d'explications existent dans la littérature. On peut tout de même citer Jean-Jacques Risler qui a donné des idées intéressantes dans son article "construction d'hypersurfaces réelles". Le but de cet exposé est de donner, à travers des exemples, une idée de la preuve du théorème de Patchwork de Viro.

Résumé : Dans cet exposé je présenterai les variétés toriques réelles dans leur plus grande généralité en portant une attention particulière à leur topologie.

Une variété torique est toujours définie sur les entiers. Elle possède donc toujours une structure réelle canonique dite déployée. Le lieu fixe d'une telle structure réelle est décrit via l'application moment comme un complexe polyédral fini. Ces structures sont toujours maximales du point de vue de l'inégalité de Smith-Thom. On connait leurs nombres de Betti et des présentations de leur groupe fondamental.

Cependant les variétés toriques peuvent admettre d'autres formes réelles. C'est celle-ci que je compte mettre en lumière. Dans un premier temps je présenterai les différentes formes réelles des tores algébriques. Ensuite je présenterai, via beaucoup d'exemples, les variétés toriques réelles affines lisses. Enfin je présenterai dans les grandes lignes comment arriver à une formule combinatoire des nombres de Betti du lieu réel d'une variété torique complète lisse.

[Il s'agit d'un travail en collaboration avec Matilde Manzaroli]

Abstract : The Alexander theorem (1923) and the Markov theorem (1936) are two classical results in knot theory that show respectively that every link can be represented as the closure of a braid and that braids that have the same closure are related by a finite number of simple operations, namely conjugation and (de-)stabilization.

In this talk we will construct an equivariant closure operator that takes in input two braids with a particular symmetry, called palindromic braids, and outputs a link that is preserved by an involution. Links with such symmetry are called strongly involutive, and when we restrict ourselves to knots they form a well-studied class of knots, called strongly invertible. We will hence give analogues of the Alexander and Markov theorems for the equivariant closure operator. In fact we will show that every strongly involutive link is the equivariant closure of two palindromic braids, drawing a parallel to the Alexander theorem. Moreover, we will see that any two pairs of palindromic braids yielding the same strongly involutive link are related by some operations akin to conjugation and (de-)stabilization.

Résumé : Je décrirai ce que nous savons de l'application "classe de cycle" en géométrie tropicale. Je présenterai la formulation de la conjecture de Hodge tropicale qui décrit l’image. Je donnerai les grandes lignes d'une preuve de cette conjecture obtenue dans un travail en commun avec Matthieu Piquerez. Je parlerai ensuite du noyau. J’introduirai les jacobiennes intermédiaires tropicales, et définirai l’application d’Abel-Jacobi tropicale sur les cycles homologiquement triviaux. Je donnerai quelques applications dont une qui concerne le cycle de Ceresa. Cette partie est tirée d’un travail en cours avec Dan Corey et Leonid Monin.

J'établirai ensuite des théorèmes limites qui relient le paysage tropical au paysage complexe. L’exposé donnera également une introduction à la théorie de Hodge des variétés tropicales kählériennes, développée dans des travaux en commun avec Matthieu Piquerez.

Résumé : Dans cet exposé, nous expliquerons comment nous avons pu obtenir une classification (complète ?) des sous-groupes algébriques connexes maximaux du groupe de Cremona réel en rang 3, en déterminant les formes réelles rationnelles de certains espaces fibrés de Mori complexes. Ce travail a été réalisé en collaboration avec Susanna Zimmermann.

Abstract : The study of the topological properties of real algebraic varieties, i.e. complex algebraic varieties endowed with an antiholomorphic involution, is a problem that can be traced back to the work of A. Harnack and D. Hilbert on real algebraic plane curves at the end of the XIXth century. Nowadays, we are particularly interested in the topology of maximal real algebraic varieties, for which the homology of the fixed points set of the involution is as rich as possible. However, there are very few known examples of maximal real algebraic varieties of dimension 3 and higher. In this talk, we contribute to filling this gap by studying three- and four-dimensional maximal real algebraic varieties obtained by considering double coverings of projective spaces and quadric hypersurfaces ramified along maximal real algebraic hypersurfaces, and endowed with involutions obtained by lifting the involution of the basis.

Résumé : Une partition d'un entier positif n est simplement une manière d'écrire n comme somme d'entiers positifs. Les identités faisant intervenir les partitions ont une histoire passionnante en théorie des nombres, en combinatoire et en théorie des représentations ; ils ont joué un rôle central dans le travail du mathématicien indien Ramanujan (le personnage principal du film "The man who knew infinity").

Je vais expliquer comment les partitions apparaissent en théorie des singularités et comment ceci permet d'avoir un nouveau point de vue sur de célèbres identités de Ramanujan (et d'autres dans la continuité de son travail) et de conjecturer et démontrer de nouvelles identités.

Cet exposé s'adresse à un large public.

Abstract: We give analytic and algebraic conditions under which a deformation of real analytic functions with non-isolated singular locus are locally topologically trivial at the boundary.

Résumé : En 1834, Plücker a calculé le nombre de points d’inflexion et de bitangentes à une courbe complexe plane de degré d, et ces derniers ne dépendent pas de la courbe choisie. La situation dans le cas réel, d’abord étudiée par Zeuthen dans le cas des quartiques, se trouve être plus délicate. Aucun cas de degré plus grand n’est connu, à l’exception du degré 6, relié à l’énumération dans certaines surfaces K3. Dans cet exposé, on rappellera les résultats connus dans le cas complexe, puis on montrera l’existence d’un compte signé des bitangentes réelles à une courbe C de degré pair. La valeur de ce compte ne dépend que de la topologie de la paire (RC,RP²).

Résumé : Dans cet exposé que je dédie à Nicolas Bergeron, le regretté chef d'orchestre d'Henri Paul de Saint Gervais,  je présenterai l'approche de Conway et Ryba pour comprendre une remarquable configuration de 95 points et 95 droites découverte progressivement au cours de la première moitié du XIXème siècle par Steiner, Plücker, Kirkman, Cayley et Salmon. Cette configuration est engendrée canoniquement à partir de six points situés sur une conique, en utilisant le théorème de l'hexagramme mystique de Pascal. Conway et Ryba proposèrent un remarquable objet mnémotechnique, le "H mystique" afin de se souvenir des divers types de points et de droites de la configuration, ainsi que de leurs relations d'incidence. J'expliquerai cela, et je parlerai aussi de textes de Pascal, Leibniz, Dandelin, Cayley, Ladd, Veronese, Cremona, Taton et Linton & Linton. 

Résumé : On présente un nouvel invariant topologique pour les arrangements de droites complexes dans CP^2, qui forment une famille particulière de courbes algébriques planes. La motivation principale est d’identifier des paires de Zariski d’arrangements qui ont la même combinatoire sans être équivalents. En utilisant des idées développées par B. Guerville-Ballé et W. Cadiegan-Schlieper, on considère l’application inclusion de la variété-bord d’un arrangement dans son extérieur et son effet sur les classes d’homologie. Une étude approfondie de la structure graphée de Waldhausen de la variété-bord permet d’identifier des générateurs spécifiques de son homologie. L’information de leurs images potentielles dans l’extérieur est collectée dans un groupe, le stabilisateur du graphe, qui a une présentation combinatoire simple, et dans lequel est défini l’invariant. On utilise une implémentation en Sage et la monodromie de tresses pour calculer l’invariant dans certains exemples, et ainsi produire de nouvelles paires de Zariski ordonnées.

Résumé : Cet exposé est une présentation du troisième chapitre de ma thèse. Les T-hypersurfaces sont des objets combinatoires issus des travaux d'O. Viro qui, en un certains sens, ressemblent à des hypersurfaces algébriques réelles des variétés toriques. Je présenterai la suite spectrale d'A. Renaudineau et K. Shaw, qui est un outil central dans leur étude, et ma généralisation du théorème de B. Haas qui permet de caractériser les T-hypersurfaces dont le nombre de composantes connexes est maximal. Je prendrai le temps d'expliquer comment les "croisements de l'amibe associée" influent sur ce dernier nombre au travers du concept de twists. 

Résumé : Il s'agira de la suite et fin des exposés de janvier. 

Résumé : Il s'agira de la suite de l'exposé de la semaine dernière. 

Résumé : Dans cet exposé en trois parties je commencerai par revenir sur ce qu'est l'homologie singulière en tant que théorie. C'est à dire qui en sont les acteurs : les groupes d'homologie et de cohomologie, ainsi que les structures : cup et cap produits. Ensuite j’introduirai l'homologie cellulaire et la cohomologie cellulaire des complexes cellulaires comme outils pour calculer l'homologie et la cohomologie singulière des supports de ces complexes. Je présenterai les complexes dihomologiques et leur utilité pour pouvoir calculer les produits de manière cellulaire. Nous interpréterons, comme le fait R. Forman, le complexe de cochaines dihomologiques comme des formes différentielles cellulaires. Cette interprétation nous permettra de montrer que les endomorphismes homologiques locaux sont tous représentés par des classes de cohomologie. J'évoquerai aussi la théorie de Morse cellulaire de R. Forman. Ensuite je définirai les faisceaux et cofaisceaux cellulaires et donnerai leurs liens avec les objets classiques du même nom. Ces objets nous permettrons de nous attarder sur la dualité de Poincaré et sur l'influence de la structure locale de nos complexes sur cette dernière. Finalement je présenterai la théorie de la dihomologie de E. Zeeman pour les complexes géométriques. 

Résumé : Nous expliquerons dans cet exposé comment reformuler le théorème du patchwork de Viro à l’aide du corps des séries de Puiseux et de sa valuation. Ceci nous permettra d'en proposer une généralisation au delà du cas des hypersurfaces et des intersections complètes. C’est un travail en commun avec Johannes Rau et Kris Shaw.

Résumé : J'expliquerai un critère d'irréductibilité pour une série complexe en deux variables, en utilisant la notion de diagramme de Newton jacobien. Il s'agit de travaux effectués avec Janusz Gwoździewicz. 

Résumé : Il est connu depuis les travaux de Tadeusz Mostowski en 1985 que l'ensemble des germes de surfaces complexes à équivalence bilipschitz près est dénombrable. En mettant à profit les travaux de Walter Neumann et Anne Pichon sur la classification bilipschitz de ces germes, nous décrirons comment construire une infinité de germes de surfaces complexes qui ont même type topologique, mais qui ne sont pas bilipschitz équivalents deux à deux.

Résumé : Soit f un polynôme à coefficients entiers et p un nombre premier. La fonction zêta d'Igusa p-adique associée à f encode la série génératice du nombre de solutions entières de f=0 modulo p^k. Igusa a montré que c'est une fonction rationelle et conjecture que ses pôles correspondent à des valeurs propres de fibres de Milnor de f. Denef et Loeser ont défini une version motivique de cette fonction, qui présente des liens frappants avec la fibre de Milnor. Je donnerai un aperçu de ces différents résultats.

Résumé : Libgober defined Alexander polynomials of (complex) plane projective curves and showed that it detects Zariski pairs of curves: these are curves with the same singularities but with non-homeomorphic complements. He also proved that the Alexander polynomial of a curve divides the Alexander polynomial of its link at infinity and the product of Alexander polynomials of the links of its singularities. We extend Libgober's definition to the symplectic case and prove that the divisibility relations also hold in this context. This is work in progress with Hanine Awada.

Abstract: A'Campo and Gusein-Zade proved independently that isolated plane curve singularities where each branch is defined by a real equation, admit special real morsifications, for which critical points and critical values are real, and furthermore, where all saddle points lie at the level 0. The existence of these handy deformations served A'Campo and Gusein-Zade to study several aspects related to  the plane curve singularity, for instance: the intersection matrices of the Milnor fiber, the variation operator, the geometric monodromy and the geometric monodromy group. In this talk, I will give an introduction to these objects and we will see, through an example, how to recover the topology of the Milnor fiber and a factorization into Dehn twists of the geometric monodromy.

Résumé : Je présenterai un travail fait en commun avec Arnaud Bodin, Evelia Garcia Barroso et Miruna Stefana Sorea. Nous étudions une large classe de morsifications de germes de fonctions analytiques réelles à une variable, en décrivant comment obtenir le type combinatoire de la morsification à partir de l'arbre de contact de la courbe polaire associée. 

Abstract: After a brief introduction to configurations in the combinatorial and geometric settings, we will introduce the notion of topological realization which leads to questions in 4-manifold topology. We will recall previous results on non realizability by Ruberman-Starkston and then discuss improvements via different techniques.

Résumé : Les suites spectrales sont des objets d'algèbre homologique inventés par J. Leray. Elles peuvent se voir comme un procédé de calcul de l'homologie d'un complexe par approximations successives. Nous les présenterons à travers plusieurs exemples:
- Homologie Cellulaire;
- Théorie de Morse;
- Suite Spectrale de Leray-Serre, appliquée au calcul de la cohomologie des fibrés en sphères;
- Dualité de Poincaré-Lefschetz;
- Formule de Künneth;
- Suite Spectrale de Bockstein.

Abstract : Given a polynomial, its matrix factorizations contain  information of the singularities of the fiber at zero. On the other hand, its Milnor fiber is a symplectic manifold, and Lagrangian vanishing cycles form the Fukaya category. Berglund-Hübsch Homological mirror symmetry conjectures that these two theories are related for invertible polynomials.

In this talk, we consider two variable invertible polynomials, such as x^n+y^m, x^n+xy^m, x^ny+xy^m. We explain how to systematically transform any geometric curves (of real dimension one) in the Milnor fiber of one polynomial to the corresponding matrix factorizations of its transpose polynomial.  The process involves quantization of the variation operator in singularity, and using monodromy of one polynomial to define the transpose polynomial purely in symplectic geometric way. 

This is a joint work with D.W. Choa and W. Jeong.

Abstract: In 2009, A'Campo introduced the notion of tête-à-tête graphs: these are metric ribbon graphs that satisfy a special property that codifies the topology and a periodic mapping class of a surface with boundary. His original motivation was to model monodromies of isolated plane curves in a combinatorial way.  In this talk we will briefly explain the basics of tête-à-tête graphs and introduce, via a detailed example, the notion of mixed  tête-à-tête graph: a generalization that allows one to model some pseudo-periodic mapping classes. 

Some of the results that will be exposed are in collaboration with Javier Fernández de Bobadilla, María Pe Pereira and Baldur Sigurdsson.

Résumé : Idem que la semaine dernière.

Résumé : Soit C une branche plane, c'est-à-dire un germe irréductible de courbe holomorphe plane réduite. Son type analytique est déterminé par sa paramétrisation en forme normale. Le premier pas pour obtenir cette paramétrisation est de calculer une base standard H du module des différentielles de Kähler de C. H est un ensemble de 1-formes qui définissent des germes de feuilletages holomorphes. Dans le cas où C a une paire de Puiseux, on démontre que ces feuilletages ont des familles de courbes invariantes avec la même topologie, appelées semi-racines analytiques. On démontre aussi que des troncations convenables de H fournissent une base standard de cette famille.

Résumé : A partir d'une feuille de papier, en la pliant, tassant, froissant, parfois déchirant, nous allons explorer des phénomènes divers, depuis des tours de passe-passe et de la géométrie, à travers la théorie de l'élasticité et l'art traditionnel japonais d'origami, jusqu'à un dispositif médical et le h-principe.  L'exposé est agrémenté de « manips » sur place, lesquelles vous pouvez essayer par la suite avec votre famille et vos amis.

Prenez donc une feuille de papier . . .

Résumé : En liaison avec la première partie, nous continuons à introduire les ingrédients utilisés dans la preuve du résultat principal et analyser en détail leur rôle. En particulier, on va regarder les outils de la géométrie logarithmique réelle, de la cohomologie équivariante et leur interaction. Si le temps le permet, on va s’intéresser aussi aux outils de la théorie de Hodge utilisés dans la preuve.  Il s’agit d’un travail en collaboration avec Emiliano Ambrosi.

Résumé : Dans cet exposé, nous étudions la topologie des dégénérescences semi-stables totalement réelles. On présente le résultat principal qui est une borne pour les nombres de Betti individuels d’une fibre réelle lisse en termes de la géométrie complexe de la fibre dégénérée. On va introduire un des ingrédients principaux, i.e. la géométrie logarithmique, qui permet d’étudier les dégénérescences qui ne sont pas nécessairement toriques, et donc de dépasser le cas des dégénérescences tropicales lisses, étudiées par Renaudineau-Shaw. Il s’agit d’un travail en collaboration avec Emiliano Ambrosi.
 

Résumé : En combien de régions k hyperplans découpent-ils R^n ? Si les hyperplans sont génériques, la réponse s'obtient assez facilement et le cas général est un résultat du à Zaslavsky, qui fait intervenir le polynôme chromatique de l'arrangement. Si on s'intéresse à la complexification de l'arrangement, des résultats initiés par Arnold, puis généralisés par Brieskorn et Orlik-Solomon montrent que le polynôme de Poincaré du complémentaire se calcule également à partir du polynôme chromatique. En combinant ces résultats, on montre alors que le complémentaire d'un arrangement réel est une variété maximale (au sens de Smith-Thom). Je survolerai cette preuve due à Orlik-Terao et si le temps le permet je montrerai une autre preuve qui fait intervenir une filtration de l'algèbre du groupe engendré par les composantes connexes du complémentaire de l'arrangement réel.

RÉSUMÉ : Nous introduirons dans ce second exposés plusieurs suites spectrales qui apparaissent naturellement en géométrie torique réelle et complexe. Certaines relations entre ces suites spectrales permettent d'établir que la convergence à la première page de l'une de ces suites implique le cas d'égalité de l'inégalité de Smith-Thom entre la somme des nombres de Betti des points réels et la somme des nombres de Betti des points complexes de la variété torique. La convergence à la première page de cette suite spectrale avait été conjecturée en 2005 [BFMH]. Cette conjecture impliquerait la maximalité de toute variété torique. Nous savons aujourd'hui qu'il existe des contre-exemples dans lesquels cette suite spectrale ne converge pas à la première page et où la variété torique n'est pas maximale [Hower]. Cependant, nous verrons que cette convergence à la première page est vérifiée dans de très nombreux exemples, si bien que la plupart des variétés toriques usuelles auxquelles on peut penser sont maximales.

[BFMH] : Frederic Bihan, Matthias Franz, Clint Mccrory, Joost van Hamel, Is every toric variety an M-variety ? (2005)

[Hower] : Valerie Hower : A counterexpample to the maximality of toric vaieties (2008)

RÉSUMÉ : Notre objectif à travers ces deux exposés successifs est de donner des conditions suffisantes de maximalité pour les variétés toriques, c'est-à-dire trouver des conditions suffisantes pour le cas d'égalité de l'inégalité de Smith-Thom entre la somme des nombres de Betti des points réels et la somme des nombres de Betti des points complexes d'une variété torique. La théorie des suites spectrales est essentielle pour faire apparaître de telles conditions. Ainsi l'objectif de ce premier exposé est d'étudier cette théorie au travers d'exemples.

Résumé : Une courbe algébrique réelle est dite maximale si son nombre de composantes connexes est égal au genre de sa complexification augmenté de un. Nous présenterons un théorème de Haas qui caractérise les courbes algébriques réelles maximales obtenues par patchwork combinatoire (une méthode de construction très puissante inventée par Viro). Nous donnerons une formulation moderne de ce théorème, avec le langage de la géométrie tropicale. 
 

Abstract:  This will be the sequel of my talk from last week. 

Abstract: In this talk I will explain a work in progress, joint with Baldur Sigurdsson, in which we explore an idea by A'Campo.  An explicit collapsing map is constructed for each isolated hypersurface singularity using a natural connection depending on the ambient metric. The preimage of the singular point by the collapsing map yields, on each Milnor fiber of an isolated plane curve singularity, a piecewise smooth spine. The combinatorics and the properties of this spine are analyzed by means of a vector field which is defined on the boundary of the real oriented blow-up of a resolution of the singularity that also resolves the polar curves.

Résumé : Une courbe algébrique réelle lisse A est dite séparante si elle sépare sa complexifiée en deux composantes connexes. Dans ce cas, elle hérite d'une orientation globale, bien définie à changement de signe près, comme bord de l'une de ces composantes connexes. Cette orientation est appelée l'orientation complexede la courbe. Considérons une courbe séparante de degré pair dans un plan projectif réel P. Un couple d'ovales de A qui cobordent un anneau dans P est dit positif si son orientation complexe s'étend en une orientation de l'anneau, et négatif sinon. En 1974 Rokhlin prouva dans le cas des courbes maximales - qui sont automatiquement séparantes - une formule reliant les nombres de couples positifs et négatifs au degré de A. Sa preuve s'étend à toutes les courbes séparantes de degré pair, fournissant une formule reliant les nombres de couples précédents au degré de A et au nombre de ses composantes connexes. Je présenterai cette preuve, ainsi que des applications de cette formule des orientations complexes.  

brill-noether.github.io/sections/program.html

Résumé : Il s'agit de la suite de l'exposé de la semaine dernière. 

Résumé : Les composantes connexes d'une courbe algébrique réelle lisse A de degré pair 2k contenue dans un plan projectif P sont toutes des ovales, c'est-à-dire qu'elles découpent P en un disque (l'intérieur de la composante) et une bande de Möbius (son extérieur). Notons par p le nombre d'ovales contenus dans un nombre pair d'autres ovales et par n le nombres d'ovales restants. A la fin des années 1960, Gudkov conjectura que p - n était congru au carré de k modulo 8, dès que la courbe A avait le nombre maximal d'ovales permis par son degré. Arnold donna en 1971 une preuve de cette congruence, mais seulement modulo 4, en utilisant de manière subtile le revêtement double du complexifié de P, ramifié le long du complexifié de A. Je présenterai cette preuve. Si le temps le permet, je présenterai une seconde preuve de 1974, due à Rokhlin. 

Résumé : Nous allons passer en revue quelques méthodes de construction de courbes algébriques réelles planes (en particulier maximales). Ces méthodes sont toutes basées sur des petites perturbations de courbes singulières nodales. Depuis Harnack, en passant par Hilbert puis Brusotti et Wiman. Ce sera un exposé très élémentaire.

Abstract: We introduce slice knots, ribbon knots and symmetric unions. After some examples and open questions, we proceed to study various notions of complexity of ribbon disks.

We discuss various lower bounds which rely on different tools such as Casson-Gordon invariants, lattice theoretic arguments and basic 3-dimensional topology. 

Abstract: We introduce slice knots, ribbon knots and symmetric unions. After some examples and open questions, we proceed to study various notions of complexity of ribbon disks.

We discuss various lower bounds which rely on different tools such as Casson-Gordon invariants, lattice theoretic arguments and basic 3-dimensional topology. 

Résumé : Je présenterai quelques idées algébriques, géométriques et topologiques de base de la géométrie torique, en me concentrant sur le cas des surfaces. 

Résumé : Je présenterai quelques idées algébriques, géométriques et topologiques de base de la géométrie torique, en me concentrant sur le cas des surfaces. 

Résumé : Après avoir introduit les motivations de Viro et après avoir exposé les premiers outils de sa théorie, nous étudierons cette semaine les principales preuves et nous les illustrerons par de jolies exemples de courbes algébriques réelles construites par le Patchwork. Si le temps le permet nous terminerons en abordant le Patchwork en géométrie tropicale et le lien qui existe avec les résultats de Viro.

Résumé : À la fin des années 1970, Viro travaillait sur la topologie des courbes algébriques réelles, un domaine connu depuis plus d’un siècle mais encore largement ouvert. En particulier, le 16^ème problème de Hilbert consiste à déterminer, pour un degré d fixé, tous les arrangements possibles entre les différentes composantes connexes d’une courbe algébrique de degré d. Ce problème n’a toujours pas de solution générale à ce jour.

   À l’époque où Viro a commencé ses travaux, la solution était connue pour les courbes de degré inférieur ou égal à 6. C’est alors que Viro introduisit un procédé original, le Patchwork, qui lui permit de résoudre le problème en degré 7. L’idée de Viro est, sous certaines hypothèses, de construire un polynôme P dont le polygone de Newton est la réunion de sous-polygones associés à des polynômes P_i tels que la courbe algébrique de ce polynôme P hérite de certaines propriétés topologiques vérifiées par les courbes algébriques associées aux polynômes P_i. Cela permit notamment à Viro de construire des courbes algébriques de degré 7 inconnues jusqu’alors, comme celle constituée d’un ovale contenant 10 ovales et de 4 ovales libres. Plus tard le Patchwork de Viro fut reformulé dans les termes de la géométrie tropicale. Il permet de construire des courbes algébriques à partir de courbes tropicales tout en conservant des propriétés topologiques. 

  Dans ce premier exposé nous introduirons d’abord le Patchwork dans sa formulation historique telle que découverte par Viro, avant de nous intéresser au Patchwork moderne exprimé dans le langage de la géométrie tropicale.

Arithmétique et topologie des noeuds modulaires

Résumé : On étudie plusieurs structures arithmétiques et topologiques sur l'ensemble des classes de conjugaison du groupe modulaire PSL(2;Z), comme des relations d'équivalence ou des fonctions bilinéaires.

Le groupe modulaire PSL(2;Z) agit sur le plan hyperbolique avec pour quotient la surface modulaire M, dont les géodésiques fermées orientées correspondent aux classes de conjugaison hyperboliques dans PSL(2;Z). Pour un corps K contenant Q, on dit que deux matrices de PSL(2;Z) sont K-équivalentes si elles sont conjuguées par un élément de PSL(2;K). Pour K=C cela revient à regrouper les géodésiques modulaires de même longueur. Pour K=Q on obtient un raffinement de cette relation d'équivalence, et l'on en donnera une interprétation géométrique en termes des géodésiques modulaires (angles aux points d'intersection et longueurs des ortho-géodésiques).

Le fibré tangent unitaire U de l'orbifold modulaire M est une variété de dimension 3 homéomorphe au complémentaire d'un noeud de trèfle dans la sphère. Les noeuds modulaires dans U sont les orbites périodiques du flot géodésique, relevés des géodésiques fermées orientées de M, et correspondent aussi aux classes de conjugaison hyperboliques dans PSL(2;Z). Leur enlacement avec le noeud de trèfle est bien compris et on s'intéresse aux nombres d'enlacement entre ces noeuds modulaires. On associe à deux noeuds modulaires une fonction définie sur la variété des caractères de PSL(2;Z), dont la limite au bord retrouve leur enlacement.

Introduction to Betti numbers of monomial ideals. Implementation of Taylor's resolution and a pruning algorithm on it.

Abstract: The study of free resolutions of monomial ideals is a very active area of research located at the interplay of Commutative Algebra, Computer Algebra and Combinatorics. The most interesting resolutions are the minimal ones, but the progress is far from complete as they are known only for a few specific families. Some non-minimal resolutions, like the Taylor or the Lyubeznik resolutions, are known but they provide less information and, above all, they contain a lot of redundant information.

Starting from the Taylor resolution of R/I being I a monomial ideal, and choosing an ordering on the monomials that generate I, the pruning algorithm described in [1] eliminates redundant information and provides a smaller free resolution of R/I that is, sometimes, minimal.

In a joint work with P. Gimenez [2], we propose MATLAB and Singular implementations of this algorithm. This opens the door to study an optimal ordering of the generators in order to reach a minimal free resolution for some families of monomial ideals.

[1] J. Àlvarez Montaner, O. Fernández-Ramos and P. Gimenez, Pruned cellular free resolutions of monomial ideals, J. Algebra 541 (2020) 126-145.

[2] E. Pérez-Callejo, Diagramas de Betti de ideales de aristas, Universidad de Valladolid, Trabajo de Fin de Máster (in spanish), 2020. Available at http://uvadoc.uva.es/handle/10324/43429

Valuations on the Character Variety : Newton Polytopes and Residual Poisson bracket

Abstract: The SL(2;C)-character variety X of a group pi is an affine algebraic variety defined as the quotient of the space of representations Hom(pi,SL(2;C)) by the conjugacy action of SL(2;C) at the target.

When pi is the fundamental group of a closed oriented surface S of genus > 1, the variety X admits a symplectic structure. Moreover its algebra of functions C[X] admits a natural linear basis indexed by multicurves in S. Those are the homotopy classes of 1-dimensional submanifolds in S with no trivial components. This privileged basis from the topological viewpoint is stable neither under multiplication nor under Poisson brackets.

In collboration with Julien Marché, we introduce a special class of valuations on X which behave monomially with respect to this linear basis and study their properties, individually and as a whole. This enables us to define the Newton polytopes of functions in C[X], and study the structure coefficients for the multiplication as well as the Poisson bracket between elements in the multicurve basis.

In this talk, we will emphasize the relations between the topology of S, the algebra of C[X], and the geometry of X.

A natural spine for Milnor fibers of isolated hypersurface singularities

Abstract: In this talk I will explain a work in progress, joint with Baldur Sigurdsson. We are exploring an idea by A'Campo in which an explicit collapsing map is constructed for each hypersurface singularity. This collapsing map depends on the ambient symplectic structure and yields a symplectomorphism outside the singular locus. The preimage of the singular point by the collapsing map is an isotropic space and is expected to be a Lagrangian spine for the Milnor fiber. At the moment we are analyzing the combinatorics of this spine by means of a vector field canonically defined on the smooth points of the exceptional set in the case of plane curve singularities.

Extension to Hirzebruch surfaces of plane foliations to study algebraic integrability

Abstract : We consider foliations with isolated singularities on the complex plane and determine some necessary conditions for them to admit a rational first integral. These criteria are based on data obtained from the resolution of dicritical singularities of the extended foliation to Hirzebruch surfaces.

The Brieskorn conjecture for plane curve singularities

Abstract : Given a singular plane curve germ, we can construct other plane germs from it, polar curves and discriminant curves.
The topological type of a generic polar curve, also that of a generic discriminant curve is an analytic invariant of the
singular plane curve, but not necessarily of its topological type. I want to exemplify that behaviour and give the relation to
the Brieskorn conjecture about discriminant knot groups.

Un survol des singularités A-D-E, Partie II

Résumé : On peut faire remonter l'étude des singularités A-D-E aux travaux de Felix Klein des années 1880 sur le lien entre l'icosaèdre régulier et la résolution des équations du cinquième degré. Dans les années 1930, Patrick Du Val est retombé dessus d'un point de vue complètement différent. Dans les années 1960 et 1970 ont été découvertes beaucoup d'autres caractérisations de ces singularités, en suivant essentiellement des questionnements d'Egbert Brieskorn, John Milnor, René Thom et Vladimir Arnold. Je présenterai un panorama en deux parties de ces singularités "cryptomorphes". 

Un survol des singularités A-D-E, Partie I

Résumé : On peut faire remonter l'étude des singularités A-D-E aux travaux de Felix Klein des années 1880 sur le lien entre l'icosaèdre régulier et la résolution des équations du cinquième degré. Dans les années 1930, Patrick Du Val est retombé dessus d'un point de vue complètement différent. Dans les années 1960 et 1970 ont été découvertes beaucoup d'autres caractérisations de ces singularités, en suivant essentiellement des questionnements d'Egbert Brieskorn, John Milnor, René Thom et Vladimir Arnold. Je présenterai un panorama en deux parties de ces singularités "cryptomorphes". 

Arithmetic equivalence of modular geodesics (applications and proof)

Abstract : In the previous talk, we described the correspondence between primitive integral binary quadratic forms of indefinite type, and primitive closed geodesics in the modular surface. For K a field of characteristic different from 2, the binary quadratic forms QA and QB are called K-equivalent when they correspond to one another by a change of variables C in SL_2(K). We stated a theorem parametrizing the set of such change of variables C by the K-points of a Pell-Fermat conic, and interpreted the result in terms of the modular geodesis corresponding to QA and QB. In this talk we will give arithmetic applications of the theorem, and mention in particular the relationship with the genus of a quadratic form. Then we will sketch a proof of the theorem, involving the adjoint action of the group SL_2(K) on its Lie algebra sl_2(K).

Arithmetic equivalence of modular geodesics

Abstract :  The primitive hyperbolic matrices in the modular group PSL(2;Z) parametrize families of objets in arithmetics such as real quadratic surds or indefinite integral binary quadratic forms.
Their conjugacy classes parametrize various objects in topology such as closed geodesics in the modular surface or equivalently their lifts in the unit tangent bundle called modular knots.

For K a field extension of Q, the conjugacy classes in PSL(2;Z) are called K-equivalent if they are conjugate by an element in PSL(2;K). We may thus partition the set of PSL(2;Z)-classes into K-classes and observe how this partition varies with K. For K = R we are considering binary quadratic forms with the same discriminant and modular geodesics of the same length.

I will discuss the meaning of K-classes in terms of the arithmetic of binary quadratic forms (their genus) and in terms of the geometry of modular geodesics (angles at intersection points, and lengths of ortho-geodesics).

The main theorem concerns the adjoint action of PSL(2;K) on its Lie algebra sl(2;K). It provides a parametrization of all matrices C in PSL(2;K) conjugating two elements a,b in sl(2;K) of the same non zero discriminant D by the Pell-Fermat conic X^2-D.Y^2 = Cross(a,b) whose constant term is the cross ratio of their fixed points in the projective line KP1.

Definite fillings of lens spaces

Abstract :   Motivated by the study of smoothings of cyclic quotient singularities as well as symplectic fillings of lens spaces, we consider an analogue problem in a purely topological setting. We look at smooth, definite fillings of lens spaces and consider the question of which intersection forms can be realized by such fillings. We discuss various constructions and an obstruction based on Donaldson's diagonalization theorem. Finally, we present a complete classification of the lens spaces which bound a unique negative-definite intersection form (up to stabilizations). We discuss consequences for smoothings of singularities as well as embeddings of lens spaces in certain 4-manifolds. This is joint work with Duncan McCoy and JungHwan Park.