I) Méthodes d'extrapolation.
Dans différents domaines des mathématiques appliquées, les méthodes numériques proposées produisent des suites de
nombres (réels ou complexes) ou de vecteurs convergeant vers la solution du
problème. Souvent cette convergence est lente, ce qui empêche de calculer une bonne approximation de la solution, non seulement du fait
du coût calcul mais aussi du fait de la propagation d'erreurs d'arrondi quand on
exécute un grand nombre d'opérations. Le développement et l'application de méthodes
d'extrapolation s'imposent. Ma contribution a consisté dans le développement de nouveaux algorithmes d'extrapolation,
 l'étude de leurs propriétés de convergence et d'accélération et leur implémentation. Les méthodes ont été comparées du point de vue des résultats théoriques,  des coûts calcul et de la stabilité.  J'ai aussi proposé un nouveau formalisme général qui permet de mieux comprendre les mécanismes d'extrapolation, d'inclure une grande majorité de méthodes connues et de construire des généralisations naturelles.

II) Approximation rationnelle et ses généralisations.

Je me suis intéressée à l'approximation d'une fonction pour laquelle on connait les premiers termes du développement en série de Taylor $f(z)=\sum_{i=0}^{\infty} c_iz^i$ ou en série de fonctions  $f(z)=\sum_{i=0}^{\infty} c_ig_i(z)$ (en particulier les séries orthogonales) par une suite d'approximants qui, dans un sens bien précis, généralisent les approximants de Padé. Ces approximants constituent une méthode bien connue  pour approcher une fonction, avoir un prolongement analytique ou  détecter des singularités. Ils ont aussi beaucoup d'applications en physique et traitement du signal.  Ce problème est connecté au précédent car les algorithmes pour le calcul récursif de suites de ces approximants sont des algorithmes d'extrapolation. De plus on s'intéresse à l'étude des propriétés que l'on doit
imposer à la suite des coefficients ou à la fonction $f$  pour que la suite des approximants
converge vers $f(z)$ plus vite que la suite des sommes partielles de la
série (ou alors converge pour des valeurs de $z$ où la série diverge).
J'ai travaillé sur différentes généralisations: les approximants de type Cauchy, approximants de type Padé en moindres carrés,  approximants de type Padé généralisés, approximants de Padé-Legendre et Frobenius-Padé, approximants vectoriels simultanés et en plusieurs variables.  Pour les différents types de familles d'approximants, j'ai obtenu des bornes d'erreur d'approximation, ordre de convergence, résultats d'accélération de convergence pour certaines classes de fonctions, des algorithmes pour le calcul récursif et j'ai étudié des propriétés de stabilité (publications de {\bf [13]} à  {\bf [21] }).


III) Approximation de fonctions présentant un saut (singularité).
Le phénomène de Gibbs apparait dans différents domaines de mathématiques appliquées où on approche la solution continue d'un problème par une version discrète: par exemple, dans la résolution d'équations aux dérivées partielles, les méthodes spectrales consistent à remplacer la solution exacte par une série de Fourier tronquée ou une somme partielle d'un développement en série de polynômes orthogonaux. Quand la solution est lisse, la convergence est géométrique, mais si la solution présente des discontinuités (problèmes physiques avec chocs ou compression d'image), la convergence est très pauvre due à la présence de grandes oscillations - le phénomène de Gibbs.
Différentes techniques pour réduire ce phénomène ont été proposées et je me suis intéressée à construire  une suite d'approximations basées sur les approximants de Padé d'une fonction construite à partir de la fonction donnée. Avec mes collaborateurs, nous avons obtenu, pour une large classe de fonctions - les fonctions hypergéométriques - des estimations d'erreur qui montrent une accélération de la convergence des sommes partielles de Fourier de l'ordre de $n^{-2k}$ ($k$ étant le nombre d'itérations et $n$ le nombre de termes de la somme). Ces résultats s'appliquent à différentes fonctions qui modélisent les sauts, aussi bien qu'à des perturbations lisses de ces fonctions.
Nous avons aussi établi des relations entre les approximants construits et les approximants de Padé-Chebyshev et Padé-Fourier bien étudiés dans la littérature.
 
Quand la localisation du saut de la fonction $f$ est connue (mais pas son amplitude), il faut construire des approximants qui incorporent cette information.
Nous avons ainsi proposé d'utiliser une famille d'approximants de Padé-Hermite dans le plan complexe qui ne sont plus des approximants rationnels, mais dont le numérateur est une combinaison linéaire à coefficients polynomiaux de deux fonctions - la fonction  constante $1$ et une fonction modélisant le saut, dans notre cas la fonction $\log (1-z)$. Nous nous sommes intéressés à la vitesse de convergence de suites d'approximants obtenus en faisant tendre les degrés des polynômes vers $\infty$ et avons obtenu une estimation de ces vitesses pour une classe de fonctions de Markov. Ces estimations ont un lien directe avec la solution d'un problème d'équilibre en théorie du potentiel. Nous avons montré que la convergence était plus rapide que pour les approximants de Padé de degré comparable.


Ceci est un exemple de la richesse de l'application de résultats de théorie du potentiel en théorie de l'approximation,  mais son champ d'applications est bien vaste. Nous nous sommes intéressés à la résolution d'un problème général de minimisation d'une fonctionnelle d'énergie avec matrice d'interaction et champ extérieur. Nous avons donné des conditions suffisantes d'existence et unicité de solution, et avons caractérisé la solution, en généralisant et affinant des résultats connus  {\bf [24]}.

IV) Calcul numérique de mesures d'équilibre en théorie du potentiel
avec champ extérieur

On s'intéresse à la minimisation d'une fonctionnelle d'énergie), dont le support est une réunion finie d'intervalles. En utilisant des résultats de la théorie des systèmes d'équations intégrales singulières,  des méthodes de collocation et Galerkin, et une technique de balayage itéré, nous construisons des approximations du support et des mesures d'équilibre, en donnant des estimations d'erreur.

V) Stabilité et la robustesse d'approximants et fonctions rationnels
Je me suis intéréssée à l'insensibilité d'approximants rationnelsà des perturbations des données et l'absence de  pôles qui ne correspondent pas à une singularité de la fonction ( "spurious poles" ). Numériquement ceci se manifeste par la présence de doublets de Froissart (paire de pole-zéro très proches) et de petits résidus dans la décomposition en fractions simples, sources de grandes instabilités numériques. Il est donc important de développer des techniques qui permettent d'identifier ces problèmes et empêcher le calcul de tels approximants. Nous avons proposé trois paramètres qui fournissent des bornes inférieures  pour la distance pôle-zéro et la taille des résidus: le conditionnement d'une matrice de type  Sylvester associée aux deux polynômes numérateur et dénominateur, une estimation du PGCD numérique des deux polynômes et une borne pour la dérivée sphérique. Ceci a permis de proposer la construction de fonctions rationnelles bien conditionnées